Algorithme de Monte Carlo Hamiltonien pour l'estimation des paramètres du modèle gamma-pareto-généralisée

Abstract

La modélisation des évènements extrêmes est importante dans plusieurs domaines, tels que l’ingénierie civil, les finances ou encore la sécurité informatique. Les modèles statistiques permettent d’estimer la fréquence d’apparition et l’intensité de ces extrêmes qui présentent des distributions avec des formes complexes la plupart du temps. En absence de séries d’extrêmes homogènes, les mélanges de lois sont utilisés afin d’avoir plus de flexibilité. Le mélange des lois Gamma et de Pareto Généralisée (GAM-GPD) possède des caractéristiques importantes pour représenter les distributions de probabilités de phénomènes complexes avec une grande concentration au niveau central et un comportement asymptotique de type puissance pour la queue de la distribution. L’inférence pour les mélanges de lois nécessite l’emploi d’approches optimales pour l’estimation des paramètres, des quantiles ainsi que leurs incertitudes. L’approche de la plus utilisée est celle basée sur la maximisation de la vraisemblance. Les objectifs du présent travail sont : (1) Effectuer une inférence statistique du modèle GAM-GPD dans un cadre bayésien et (2) développer un algorithme d’optimisation pour l’estimation des distributions a posteriori des paramètres. Les algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) sont alors considérés pour générer des réalisations à partir de la distribution a posteriori des paramètres et d’en déduire ses caractéristiques. Il s’agit d’approches de simulations qui permettent de construire des chaînes de Markov irréductibles et apériodiques et qui admettent comme distribution stationnaire la loi a posteriori des paramètres à estimer. On s’intéressera particulièrement à l’algorithme de Monte Carlo Hamiltonien pour garantir une bonne couverture de l’espace des paramètres du modèle GAM-GPD avec une convergence optimale vers la distribution stationnaire. Mots clés : Mélange de lois de probabilité; Algorithme d’optimisation optimal; Événements extrêmes; Algorithme MCMC; Monte Carlo par Hamiltonien; Algorithme NUTS; No-U-turn-Sampler.