Une nouvelle méthode d'interpolation par splines de degré supérieur avec méthode robuste pour le calcul des conditions aux frontières

Abstract

"L’interpolation par splines de degré supérieur en utilisant des méthodes traditionnelles est peu efficace en pratique, ce qui fait que ce type d’interpolation est rarement utilisé. Afin d’obtenir des résultats précis, de bonnes approximations des dérivées d’ordre supérieur d’une fonction analytique a priori inconnue sont nécessaires. Toutefois, les méthodes de calcul traditionnelles permettant de calculer ces dérivées ne sont pas toujours efficaces. Dans ce travail, nous allons proposer une nouvelle méthode permettant de construire des splines de degré quelconque à partir d’un maillage uniforme d’un intervalle [0, T]. Cette méthode, développée par Beaudoin (1998, 2003) et Beauchemin (2003), fait intervenir la transformée de Fourier discrète (ou la transformée de Fourier rapide). Elle a l’avantage de permettre facilement le passage à des interpolations de degré supérieur, sans toutefois trop complexifier les formules. De plus, les conditions aux frontières utilisées dans cette méthode sont d’une forme particulière, ce qui permet de les approximer très précisément, peu importe le degré utilisé. Lors de leurs travaux initiaux, Beaudoin et Beauchemin ont conclu, à l’aide de tests numériques, que leur méthode menait à la construction de splines de degré quelconque. Toutefois, aucune preuve formelle n’a été fournie afin d’appuyer cette conclusion. Le but premier de cette thèse est donc de fournir une preuve formelle de la continuité des polynômes successifs, de même que de toutes leurs dérivées respectives, sur tout l’intervalle [0, T] afin de bien démontrer que la méthode de Beaudoin et Beauchemin mène effectivement à la construction de splines. Ensuite, puisqu’il est nécessaire d’avoir de bonnes approximations des conditions aux frontières afin d’obtenir une interpolation précise, deux méthodes robustes pour le calcul de ces conditions aux frontières seront proposées." -- résumé